Question

設a、b、c為△ABC的三邊，且滿足a＞b＞c，2b=a+c，a²+b²+c²=84，求正整數b的值．

Answer 1

考點：三角形邊角關系

專題：

分析：根據2b=a+c，a²+b²+c²=84可以得到2b=a+c，2ac=4b²-a²-c²，根據均值不等式即可得到b²≤28，從而求得b的可能取值，然后進行排除即可．

解答：解：∵4b²=a²+2ac+c²，b²=84-a²-c²，
∴2b=a+c，2ac=4b²-a²-c²．
∵a＞0，c＞0，由均值不等式，a²+c²≥2ac，即a²+c²≥4b²-a²-c²，
∴a²+c²≥2b²．
∵a²+b²+c²=84，
∴84≥2b²+b²=3b²，
解得：b²≤28，
又∵b是正整數，
∴b的可能取值是5，4，3，2，1．
若b=3，則c＜3，a＜b+c＜6．
則a²+b²+c²＜54＜84，
∴b＞3，即b可能取值是4或5．
若b=4，則a+c=2b=8，a²+16+c²=84，
聯(lián)立上邊的兩式得：c=10＞b．
∴b≠4．
∴b=5．

點評：本題考查了三角形的三邊關系以及均值不等式，正確求得b的可能取值是關鍵．