Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=

5

4

x+m的圖象與x軸交于A（-1，0），與y軸交于點C．以直線x=2為對稱軸的拋物線C₁：y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過A、C兩點，并與x軸正半軸交于點B．
（1）求m的值及拋物線C₁：y=ax²+bx+c（a≠0）的函數(shù)表達式．
（2）設(shè)點D（0，

25

12

），若F是拋物線C₁：y=ax²+bx+c（a≠0）對稱軸上使得△ADF的周長取得最小值的點，過F任意作一條與y軸不平行的直線交拋物線C₁于M₁（x₁，y₁），M₂（x₂，y₂）兩點，試探究

1

M1F

+

1

M2F

是否為定值？請說明理由．
（3）將拋物線C₁作適當平移，得到拋物線C₂：y₂=-

1

4

（x-h）²，h＞1．若當1＜x≤m時，y₂≥-x恒成立，求m的最大值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題,一元二次方程的應(yīng)用,兩點間的距離公式

專題：壓軸題

分析：（1）只需將A點坐標代入一次函數(shù)關(guān)系式即可求出m值，利用待定系數(shù)法和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)列出關(guān)于a、b、c的方程組求出a、b、c的值就可求出二次函數(shù)關(guān)系式；
（2）先運用軸對稱的性質(zhì)找到點F的坐標，再運用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及平面直角坐標系中兩點之間的距離公式求出M₁M₂、M₁F、M₂F，證出M₁F•M₂F=M₁M₂，最后可求

1

M1F

+

1

M2F

=1；
（3）設(shè)y₂與y=-x的兩交點的橫坐標分別為x₀，x₀，因為拋物線C₂：y₂=-

1

4

（x-h）²可以看成由y=-

1

4

x²左右平移得到，觀察圖象可知，隨著圖象向右移，x₀，x₀的值不斷增大，所以當1＜x≤m，y₂≥-x恒成立時，m最大值在x₀處取得，根據(jù)題意列出方程求出x₀，即可求解．

解答：解：（1）∵一次函數(shù)y=

5

4

x+m的圖象與x軸交于A（-1，0）
∴0=-

5

4

+m
∴m=

5

4

．
∴一次函數(shù)的解析式為y=

5

4

x+

5

4

．
∴點C的坐標為（0，

5

4

）．
∵y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過A、C兩點且對稱軸是x=2，
∴

a-b+c=0 c= 5 4 - b 2a =2

，解得

a=- 1 4 b=1 c= 5 4

∴y=-

1

4

x²+x+

5

4

．
∴m的值為

5

4

，拋物線C₁的函數(shù)表達式為y=-

1

4

x²+x+

5

4

．

（2）要使△ADF的周長取得最小，只需AF+DF最小
連接BD交x=2于點F，因為點B與點A關(guān)于x=2對稱，
根據(jù)軸對稱性質(zhì)以及兩點之間線段最短，可知此時AF+DF最小．
令y=-

1

4

x²+x+

5

4

中的y=0，則x=-1或5
∴B（5，0）
∵D（0，

25

12

）
∴直線BD解析式為y=-

5

12

x+

25

12

，
∴F（2，

5

4

）．
令過F（2，

5

4

）的直線M₁M₂解析式為y=kx+b₁，
則

5

4

=2k+b₁，∴b₁=

5

4

-2k
則直線M₁M₂的解析式為y=kx+

5

4

-2k．
解法一：
由

y=kx+ 5 4 -2k y=- 1 4 x2+x+ 5 4

得x²-（4-4k）x-8k=0
∴x₁+x₂=4-4k，x₁x₂=-8k
∵y₁=kx₁+

5

4

-2k，y₂=kx₂+

5

4

-2k
∴y₁-y₂=k（x₁-x₂）
∴M₁M₂=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(x1-x2)2+k2(x1-x2)2

 
=

1+k2

(x1-x2)2

=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

(4-4k)2+32k

=4（1+k²） 
M₁F=

(x1-2)2+(y1- 5 4 )2

=

(x1-2)2+(kx1+ 5 4 -2k- 5 4 )2

=

1+k2

(x1-2)2

同理M₂F=

1+k2

(x2-2)2

∴M₁F•M₂F=（1+k²） 

(x1-2)2(x2-2)2

=（1+k²）

[x1x2-2(x1+x2)+4]2

=（1+k²）

[-8k-2(4-4k)+4]2

=4（1+k²）=M₁M₂  
∴

1

M1F

+

1

M2F

=

M1F+M2F

M1F•M2F

=

M1M2

M1F•M2F

=1；
解法二：
∵y=-

1

4

x²+x+

5

4

=-

1

4

（x-2）²+

9

4

，
∴（x-2）²=9-4y
設(shè)M₁（x₁，y₁），則有（x₁-2）²=9-4y₁．
∴M₁F=

(x1-2)2+( 5 4 -y1)2

=

( 5 4 -y1)2+9-4y1

=

13

4

-y₁；
設(shè)M₂（x₂，y₂），同理可求得：M₂F=

13

4

-y₂．
∴

1

M1F

+

1

M2F

=

M1F+M2F

M1F•M2F

=

( 13 4 -y1)+( 13 4 -y2)

( 13 4 -y1)•( 13 4 -y2)

=

13 2 -(y1+y2)

169 16 - 13 4 (y1+y2)+y1y2

    ①．
直線M₁M₂的解析式為y=kx+

5

4

-2k，即：y-

5

4

=k（x-2）．
聯(lián)立y-

5

4

=k（x-2）與拋物線（x-2）²=9-4y，得：
y²+（4k²-

5

2

）y+

25

16

-9k²=0，
∴y₁+y₂=

5

2

-4k²，y₁y₂=

25

16

-9k²，代入①式，得：

1

M1F

+

1

M2F

=

4k2+4

4k2+4

=1．


（3）設(shè)y₂與y=-x的兩交點的橫坐標分別為x₀，x₀′，
∵拋物線C₂：y₂=-

1

4

（x-h）²可以看成由y=-

1

4

x²左右平移得到，觀察圖象可知，隨著圖象向右移，x₀，x₀′的值不斷增大
∴當1＜x≤m，y₂≥-x恒成立時，m最大值在x₀′處取得
∴當x₀=1時，對應(yīng)的x₀′即為m的最大值
將x₀=1代入y₂=-

1

4

（x-h）²=-x得（1-h）²=4，
∴h=3或-1（舍）
將h=3代入y₂=-

1

4

（x-h）²=-x有
-

1

4

（x-3）²=-x
∴x₀=1，x₀′=9．
∴m的最大值為9．

點評：本題主要考查運用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及平面直角坐標系中兩點距離公式的綜合運用，對計算要求較高．