Question

△ABC的兩條中線BD與CE交于點G、F、H分別是BG、CG的中點，連接DE、EF、F、HD．
（1）求證：四邊形DEFH為平行四邊形；
（2）連接AG．
①當AG與BC具有什么關(guān)系時，四邊形DEFH是菱形并證明；
②當AG與BC具有什么關(guān)系時，四邊形DEFH是矩形．

Answer 1

考點：中點四邊形

專題：

分析：（1）由△ABC的兩條中線BD與CE交于點G、F、H分別是BG、CG的中點，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，可得DE∥FH，DE=FH，即可證得四邊形DEFH為平行四邊形；
（2）①當AG=BC時，易證得EF=ED，又由四邊形DEFH為平行四邊形，即可判定四邊形DEFH是菱形；
②當AG⊥BC時，易得ED⊥EF，又由四邊形DEFH為平行四邊形，即可判定四邊形DEFH是矩形．

解答：證明：（1）∵△ABC的兩條中線BD與CE交于點G、F、H分別是BG、CG的中點，
∴DE∥BC，DE=

1

2

BC，F(xiàn)H∥BC，F(xiàn)H=

1

2

BC，
∴DE∥FH，DE=FH，
∴四邊形DEFH為平行四邊形；

（2）①當AG=BC時，四邊形DEFH是菱形．
理由：∵△ABC的兩條中線BD與CE交于點G、F、H分別是BG、CG的中點，
∴EF=

1

2

AG，
∵DE=

1

2

BC，
∴當AG=BC時，EF=ED，
∵四邊形DEFH為平行四邊形，
∴?DEFH為菱形；

②當AG⊥BC時，四邊形DEFH為矩形，
理由：∵△ABC的兩條中線BD與CE交于點G、F、H分別是BG、CG的中點，
∴DE∥FH∥BC，EF∥AG∥DH，
∴當AG⊥BC時，ED⊥EF，
∴∠DEF=90°，
∵四邊形DEFH是平行四邊形，
∴四邊形DEFH是矩形．

點評：此題考查了中點四邊形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)與判定、矩形的判定以及菱形的判定．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用．