Question

【題目】已知⊙O經(jīng)過四邊形ABCD的B、D兩點(diǎn)，并與四條邊分別交于點(diǎn)E、F、G、H，且．

（1）如圖①，連接BD，若BD是⊙O的直徑，求證：∠A＝∠C；

（2）如圖②，若的度數(shù)為θ，∠A＝α，∠C＝β，請(qǐng)直接寫出θ、α和β之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）α+β+θ =180°

【解析】

（1）根據(jù)圓周角定理及同弧所對(duì)的圓周角相等，得到∠EDF＝∠HDG，然后利用外角的性質(zhì)等量代換求證；

（2）利用外角性質(zhì)及圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)求解.

（1） 連接DF、DG

∵BD是⊙O的直徑

∴∠DFB＝∠DGB =90°，

∵

∴∠EDF＝∠HDG，

∵∠DFB＝∠EDF+∠A

∠DGB＝∠HDG+∠C，

∴∠A＝∠C

（2）

連接DF,BH

∵

∴∠ADF=∠HBG=θ

又∵∠DFB=∠A+∠ADF,∠DHB=∠C+∠HBG

∴∠DFB+∠DHB=∠A+∠ADF+∠C+∠HBG

根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，可得

∴α+β+θ =180°