Question

如圖1，Rt△ABC兩直角邊的邊長為AC=3，BC=4．
（1）如圖2，⊙O與Rt△ABC的邊AB相切于點X，與邊BC相切于點Y．請你在圖2中作出并標明⊙O的圓心（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明）
（2）P是這個Rt△ABC上和其內部的動點，以P為圓心的⊙P與Rt△ABC的兩條邊相切．設⊙P的面積為S，你認為能否確定S的最大值？若能，請你求出S的最大值；若不能，請你說明不能確定S的最大值的理由．

Answer 1

考點：作圖—復雜作圖,切線的性質

專題：

分析：（1）利用角平分線的性質以及其作法得出即可；
（2）分別利用若⊙P與△ABC的BA、BC兩條邊相切，以及⊙P與△ABC的CA、AC兩條邊相切，若⊙P與△ABC的CA、BC兩條邊相切，求出半徑進而比較得出答案．

解答：解：（1）由∠B得角平分線、平角∠BXA的平分線、平角∠BYC的角平分線中的任意兩條得交點即為所求圓的圓心O；

（2）若⊙P與△ABC的BA、BC兩條邊相切，且面積最大，則點P為∠ABC的角平分線與AC邊的交點，
作PH⊥AB于H，
∵Rt△ABC兩直角邊的邊長為AC=3，BC=4，
∴AB=5，
則BH=BC=4，∴AH=1，
∵∠A=∠A，∠PHA=∠BCA，
∴△APH∽△ABC，
∴

AH

PH

=

AC

BC

=

3

4

，
∴PH=

4

3

AH，
在Rt△APH中，PH=

4

3

AH=

4

3

，即R₁=

4

3

，
同理，⊙P與△ABC的CA、AC兩條邊相切，R₂=

3

2

，
若⊙P與△ABC的CA、BC兩條邊相切，R₃=

12

7

，
故R₃＞R₂＞R₁，符合要求⊙P的最大面積為：

144π

49

．

點評：此題主要考查了角平分線的作法以及其性質和勾股定理等知識，得出PH=

4

3

AH是解題關鍵．