Question

如圖所示，(1)P是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，求證：AB＋AC＞BP＋CP．

(2)通過上述的證明，你能否受到啟發(fā)？若在△ABC內(nèi)有任兩點(diǎn)P、Q，連BP、PQ、QC(如圖所示)，那么AB＋AC和BP＋PQ＋QC的大小關(guān)系如何呢？請說明理由．

　

Answer 1

答案：
解析：

(1)延長BP交AC于點(diǎn)E．在△ABE中，AB＋AE＞BE 　　∴AB＋AE＞BP＋PE�、� 　　在△CPE中，PE＋EC＞PC② 　�、伲�②得AB＋AE＋PE＋EC＞BP＋PE＋PC 　　∴AB＋AC＞BP＋PC． 　　(2)可得出AB＋AC＞PB＋PQ＋QC． 　　證明：延長PQ分別交AB、AC于E、F． 　　在△BEP中，BE＋EP＞BP�、� 　　在△CFQ中，CF＋FP＞QC�、� 　　在△AEF中，AE＋AF＞EP＋PQ＋PQ�、� 　　∴①＋②得　BE＋EP＋CF＋FQ＞BP＋QC　④ ③＋④得AE＋AF＋BE＋EP＋CF＋FQ＞EP＋PQ＋FQ＋BP＋QC 　　∴AB＋AC＞BP＋PQ＋QC． 　　分析：(1)要證明線段之間的不等關(guān)系，應(yīng)首先考慮三角形的三邊關(guān)系，將BP延長交AC于E．在△ABE和△PEC中由兩邊之和大于第三邊即可證出． 　　(2)受上題啟發(fā)，同樣延長PQ交AB、AC分別為E，F(xiàn)．只須在△AEF，△BEP和△CFQ中由兩邊之和大于第三邊可得出AB＋AC＞BP＋PQ＋QC．