Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式；

（2）為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為.當(dāng)點(diǎn)落在該拋物線上時(shí)，求的值；

（3）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊作圖示一側(cè)的正方形，隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，正方形的大小與位置也隨之改變，當(dāng)頂點(diǎn)或恰好落在軸上時(shí)，求對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）.（2）或.（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為，，

，.

【解析】

（1）將和點(diǎn)代入解析式解方程即可；

（2）將的坐標(biāo)表示，把坐標(biāo)代入解析式求m即可；

（3）利用正方形性質(zhì)和一線三直角幾何模型，找到全等三角形，根據(jù)直角邊解方程即可.

（1）∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn).

得，解得

∴拋物線的解析式為.

（2）∵與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

∴的坐標(biāo)為.

∵，都在拋物線上，

∴，.

∴.

解得或.

（3）當(dāng)點(diǎn)落在軸上時(shí)，

如圖1，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

∵四邊形是正方形，

∴，.

∴.

∵，

∴.

∴.

又，

∴.

∴.

∴，有，

解得或（舍去）.

∴點(diǎn)坐標(biāo)為.

如圖2，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

同理可以證得，

∴.

∴，有，

解得或（舍去）.

∴點(diǎn)坐標(biāo)為.

當(dāng)點(diǎn)落在軸上時(shí)，

如圖3，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

同理可以證得，

∴，

∴，有，

解得或（舍去）.

∴點(diǎn)坐標(biāo)為.

如圖4，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

同理可以證得，

∴，

∴，有，

解得或（舍去）.

∴點(diǎn)坐標(biāo)為.

綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，

，.