Question

20．如圖，在直角坐標系中，已知P（-2，-1），點T（t，0）是x軸上的一個動點．
（1）求點P關于原點的對稱點M的坐標．
（2）已知點N（0，2）為y軸上的一點，求經(jīng)過P、M、N三點的拋物線的解析式，并求出該拋物線的頂點坐標．
（3）點T在運動過程中，是否存在某個時刻使△MTO為等腰三角形？若存在，求出點T的坐標．若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）關于原點對稱的兩個點的橫、縱坐標均互為相反數(shù)；
（2）設經(jīng)過P、M、N三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0）．把點P、M、N三點的坐標分別代入函數(shù)解析式，聯(lián)立方程組并解答；
（3）分三種情況進行解答：①當OT=OM時，以點O為圓心，以OM為半徑畫圓，交x軸于兩點：T₁、T₂；
②當OM=MT時，以點M為圓心，以OM為半徑畫圓，交x軸于兩點：O（不合題意）、T₃；
③當OM為等腰三角形的底邊時，作OM的垂直平分線，交x軸于一點：T₄．
結合點的坐標與圖形的性質以及函數(shù)圖象上點的坐標特征進行解答．

解答 解：（1）點P（-2，-1）關于原點的對稱點M的坐標為（2，1）；

（2）設經(jīng)過P、M、N三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0）．把P（-2，-1）、M（2，1）、N（0，2）代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=-1}\\{4a+2b+c=1}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{1}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴經(jīng)過P、M、N三點的拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+2．
又∵y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+2=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{17}{8}$，
∴拋物線的頂點坐標為：（$\frac{1}{2}$，$\frac{17}{8}$）；

（3）∵M（2，1），
∴OM=$\sqrt{5}$，
 ①當OT=OM時，以點O為圓心，以OM為半徑畫圓，交x軸于兩點：T₁、T₂
∴OT₁=OT₂=OM=$\sqrt{5}$，
∴T₁（-$\sqrt{5}$，0）；T₂（$\sqrt{5}$，0）；
 ②當OM=MT時，以點M為圓心，以OM為半徑畫圓，交x軸于兩點：O（不合題意）、T₃
∵M（2，1），且OM=MT₃，
∴OT₃=4，
∴T₃（4，0）；
 ③當OM為等腰三角形的底邊時，作OM的垂直平分線，交x軸于一點：T₄，
設OT₄的長為a，
∵M（2，1），
∴AT₄=2-a，MA=1，
∴在Rt△MAT₄中，MT₄²=（2-a）²+1²，
∴（2-a）²+1²=a²，
解得：a=$\frac{5}{4}$，
∴T₄（$\frac{5}{4}$，0）．
總之，符合條件的T點存在，共有四個：T₁（-$\sqrt{5}$，0）；T₂（$\sqrt{5}$，0）、T₃（4，0）、T₄（$\frac{5}{4}$，0）．

點評 本題綜合考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)解析式的三種形式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及等腰三角形的判定與性質．解答（3）題時，沒有明確等腰三角形的底邊時，一定要分類討論，以防漏解．另外，在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式時，要根據(jù)題中已知條件選擇二次函數(shù)解析式的形式．