Question

已知：如圖，在△ABC中，∠A=45°，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，且AD=DC，CO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作弦EF⊥AB，垂足為點(diǎn)G．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若AB=2，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接BD，有圓周角性質(zhì)定理和等腰三角形的性質(zhì)以及已知條件證明∠ABC=90°即可；
（2）AB=2，則圓的直徑為2，所以半徑為1，即OB=OE=1，利用勾股定理求出CO的長(zhǎng)，再通過證明△EGO∽△CBO得到關(guān)于EG的比例式可求出EG的長(zhǎng)，進(jìn)而求出EF的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：連接BD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∵AD=CD，
∴AB=BC，
∴∠A=∠ACB=45°，
∴∠ABC=90°，
∴BC是⊙O的切線；
（2）解：∵AB=2，
∴BO=1，
∵AB=BC=2，
∴CO=

BO2+BC2

=

5

，
∵EF⊥AB，BC⊥AB，
∴EF∥BC，
∴△EGO∽△CBO，
∴

EG

BC

=

EO

CO

，
∴

EG

2

=

1

5

，
∴EG=

2 5

5

，
∴EF=2EG=

4 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定于性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用；證明某一線段是圓的切線時(shí)，一般情況下是連接切點(diǎn)與圓心，通過證明該半徑垂直于這一線段來判定切線．