Question

13．如圖，△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，AB=AC，∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)P，連接PA，PB．
（1）如圖①，若∠BPC=60°，試證明CP為⊙O的直徑；
（2）如圖②，連接AO并延長(zhǎng)交CP于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，若AB=40，sin∠BPC=$\frac{24}{25}$，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC，∠BPC=60°，易得△ABC為等邊三角形，又由∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)P，可得∠BCP=30°，即可得∠PBC=90°，證得CP為⊙O的直徑；
（2）首先過點(diǎn)E作EG⊥AC于G，連接OB，OC，易證得∠ACP=∠PCB，即可得sin∠FOC=sin∠BPC=$\frac{24}{25}$，然后設(shè)FC=24a，則OC=OA=25a，由勾股定理，可求得a的值，然后由在Rt△AGE和Rt△AFC中，EG=EF，F(xiàn)C=24，AF=32，AC=40，sin∠FAC=$\frac{EG}{AE}$=$\frac{FC}{AC}$，求得答案．

解答 解：（1）∵∠BPC=60°，
∴∠BAC=∠BPC=60°．
又∵AB=AC，
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)P，
∴∠BCP=30°，
∴∠PBC=180°-∠BPC-∠BCP=90°，
∴CP為⊙O的直徑．

（2）過點(diǎn)E作EG⊥AC于G，連接OB，OC．
∵AB=AC，AF所在的直線為⊙O的對(duì)稱軸，
∴AF⊥BC，BF=CF．
∵∠ACP=∠PCB，
∴EG=EF，
∵∠BPC=$\frac{1}{2}$∠BOC=∠FOC，
∴sin∠FOC=sin∠BPC=$\frac{24}{25}$，
設(shè)FC=24a，則OC=OA=25a，
由勾股定理可得OF=7a，
∴AF=25a+7a=32a，
在Rt△AFC中，AC=$\sqrt{A{F}^{2}+F{C}^{2}}$=40a，
又∵AB=AC=40，
∴40a=40，
∴a=1，
∴FC=24，AF=32
在Rt△AGE和Rt△AFC中，
EG=EF，F(xiàn)C=24，AF=32，AC=40，sin∠FAC=$\frac{EG}{AE}$=$\frac{FC}{AC}$，
即$\frac{EF}{32-EF}$=$\frac{24}{40}$，解得EF=12．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了圓的外接圓的性質(zhì)、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)等知識(shí)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．