Question

17．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x²-2x-3與x軸交于點A，B，與y軸交于點C
（1）求△ABC的面積；
（2）點C關于此拋物線的對稱軸的對稱點是D，若過點D的直線與此拋物線只有一個交點，求此直線的表達式；
（3）小敏發(fā)現(xiàn)有過A，B兩點的拋物線如果與y負半軸交于點C′，M為拋物線的頂點，那么△AC′M與△AC′B的面積比不變，請你求出這個比值．

Answer 1

分析 （1）分別求出A、B、C三點坐標，根據(jù)三角形的面積公式計算即可．
（2）設過點D的直線為y=kx+b，把D（2，-3）代入，得-3=2k+b，得b=-3-2k，得y=kx-3-2k，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-3-2k}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，消去y得x²-（2+k）x+2k=0，根據(jù)△=0，列出方程即可解決問題．
（3）設過A、B兩點的拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）=ax²-2ax-3a，求出C′、M′坐標，再求出△AC′M與△AC′B的面積（用a表示），即可解決問題．

解答 解：（1）對于拋物線y=x²-2x-3，
令x=0得y=-3，
∴C（0，-3），
令y=0得x²-2x-3=0，解得x=3或-1，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，CO=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•AB•OC═$\frac{1}{2}$×3×4=6．

（2）如圖1中，

∵拋物線的對稱軸x=1，點C坐標（0，-3），C、D關于對稱軸對稱，
∴D（2，-3），設過點D的直線為y=kx+b，把D（2，-3）代入，
得-3=2k+b，
∴b=-3-2k，
∴y=kx-3-2k，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-3-2k}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，消去y得x²-（2+k）x+2k=0，
由題意，△=0，
∴（2+k）²-8k=0，
∴k=2，
∴直線CD的解析式為y=2x-7．

（3）如圖2中，

設過A、B兩點的拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）=ax²-2ax-3a，
∴C′（0，-3a），M（1，-4a），
∴S_△AC′M=S_△AOC′+S_△OC′M-S_△AOM=$\frac{1}{2}$•1•3a+$\frac{1}{2}$•3a•1-$\frac{1}{2}$•1•4a=a，
S_△ABC′=$\frac{1}{2}$•4•3a=6a，
∴S_△AC′M：S_△AC′B=a：6a=1：6．

點評 本題考查二次函數(shù)與坐標軸的交點、直線與拋物線的位置關系、三角形的面積問題等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題，學會用分割法求三角形面積，屬于中考�？碱}型．