Question

反比例函數(shù)y=

k

x

(k≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（3，4）．
（1）求反比例函數(shù)解析式；
（2）在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P（與原點(diǎn)O不重合），使AO=AP？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)簡要說明理由．

Answer 1

分析：（1）由反比例函數(shù)y=

k

x

(k≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（3，4），利用待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)解析式；
（2）分別從若點(diǎn)P在x軸上，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，0），其中x≠0與若點(diǎn)P在y軸上，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，y），其中y≠0去分析，利用兩點(diǎn)距離公式，即可得方程，繼而可求得答案．

解答：解：（1）∵反比例函數(shù)y=

k

x

(k≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（3，4），
∴4=

k

3

，
解得：k=12，
∴反比例函數(shù)解析式為y=

12

x

；

（2）存在．
若點(diǎn)P在x軸上，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，0），其中x≠0．
由題意可得：OA=

(3-0)2+(4-0)2

=5，AP=

(x-3)2+(0-4)2

，
∴

(x-3)2+(0-4)2

=5，
解得：x₁=0（舍去），x₂=6，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，0）；
若點(diǎn)P在y軸上，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，y），其中y≠0，
同理可得：

(0-3)2+(y-4)2

=5，
解得：y₁=0（舍去），y₂=8，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，8）；
綜上：在坐標(biāo)軸上存在點(diǎn)P（與原點(diǎn)O不重合），使AO=AP，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，0）或（0，8）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式、兩點(diǎn)間的距離公式以及一元二次方程的解法．此題難度較大，注意掌握方程思想、分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．