Question

8．已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠CDA，AB=DC=$\sqrt{ab}$，CE=a，AC=b，求證：
（1）△DEC∽△ADC；
（2）AE•AB=BC•DE．

Answer 1

分析 （1）兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似，據(jù)此進行證明即可；
（2）先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出∠BAC=∠EDA，$\frac{DE}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，再根據(jù)兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似，進行證明即可．

解答 證明：（1）∵DC=$\sqrt{ab}$，CE=a，AC=b，
∴CD²=CE×CA，
即$\frac{CE}{CD}$=$\frac{CD}{CA}$，
又∵∠ECD=∠DCA，
∴△DEC∽△ADC；

（2）∵△DEC∽△ADC，
∴∠DAE=∠CDE，
∵∠BAD=∠CDA，
∴∠BAC=∠EDA，
∵△DEC∽△ADC，
∴$\frac{DE}{AD}$=$\frac{DC}{AC}$，
∵DC=AB，
∴$\frac{DE}{AD}$=$\frac{AB}{AC}$，即$\frac{DE}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，
∴△ADE∽△CAB，
∴$\frac{AE}{CB}$=$\frac{DE}{AB}$，
即AE•AB=BC•DE．

點評 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應用，解題時注意：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似．