Question

（2004•天津）如圖，已知兩個等圓⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點，一條直線經過點A，分別與兩圓相交于點C、D，MC切⊙O₁于點C，MD切⊙O₂于點D，若∠BCD=30°，則∠M等于    度．

Answer 1

【答案】分析：連接BD，O₁C，O₁B，O₂B，O₂D，根據切線的性質可以得到∠O₁CM=∠O₂DM=90°；由于圓O₁與圓O₂是等圓，而∠BCD=30°，由此可以推出∠CDB=∠BCD=30°；然后可以得到∠CBD=120°，BC=BD，再利用已知條件證明△O₁BC≌△O₂BD，由此得到∠O₁CB=∠O₂DB，進而得到∠O₁CM+∠O₂DM=∠BCM+∠BDM=180°，最后即可求出∠M的度數．
解答：解：如圖，連接BD，O₁C，O₁B，O₂B，O₂D，
∵MC切⊙O₁于點C，MD切⊙O₂于點D，
∴∠O₁CM=∠O₂DM=90°；
∵⊙O₁與⊙O₂是等圓，∠BCD=30°，
∴∠CDB=∠BCD=30°，
∴∠CBD=120°，BC=BD，
∴△O₁BC≌△O₂BD，∠O₁CB=∠O₂DB，
∴∠O₁CM+∠O₂DM=∠BCM+∠BDM=180°，
∴∠M=180-∠CBD=60°．
點評：本題主要利用了切線的性質，全等三角形的判定和性質，圓周角定理，等角對等邊，四邊形的內角和等知識，有一定的綜合性，對學生的分析問題的能力要求比較高．