Question

如圖1，有一組平行線，正方形的四個頂點分別在上，過點Ｄ且垂直于于點Ｅ，分別交于點Ｆ，Ｇ，．

（1） ，正方形的邊長＝ ；

（2）如圖2，將繞點A順時針旋轉得到，旋轉角為，點在直線上，以為邊在的左側作菱形，使點分別在直線上．

①寫出與的函數(shù)關系并給出證明；②若，求菱形的邊長．

Answer 1

（1）1，；（2）．

【解析】

試題分析：（1）利用已知得出△AED≌△DGC（AAS），即可得出AE，以及正方形的邊長；

（2）①過點B′作B′M垂直于l1于點M，進而得出Rt△AED′≌Rt△B′MA（HL），求出∠B′AD′與α的數(shù)量關系即可；

②首先過點E作ON垂直于l1分別交l1，l2于點O，N，若α=30°，則∠ED′N=60°，可求出AE=1，EO，EN，ED′的長，進而由勾股定理可知菱形的邊長．

試題解析：（1）由題意可得：∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，

∴∠2=∠3，

在△AED和△DGC中，

，

∴△AED≌△DGC（AAS），

∴AE=GD=1，

又∵DE=1+2=3，

∴正方形ABCD的邊長=，

（2）①∠B′AD′=90°-α；

理由：過點B′作B′M垂直于l1于點M，

在Rt△AED′和Rt△B′MA中，

，

∴Rt△AED′≌Rt△B′MA（HL），

∴∠D′AE+∠B′AM=90°，

∠B′AD′+α=90°，

∴∠B′AD′=90°-α；

②過點E作ON垂直于l1分別交l1，l3于點O，N，

若α=30°，

則∠ED′N=60°，AE=1，

故EO=，EN=，ED′=，

由勾股定理可知菱形的邊長為：．

考點：1.幾何變換綜合題；2.全等三角形的判定與性質；3.勾股定理的應用．