Question

1．如圖，△OAC中，以O(shè)為圓心，OA為半徑作⊙O，作OB⊥OC交⊙O于B，垂足為O，連接AB交OC于點(diǎn)D，∠CAD=∠CDA．
（1）判斷AC與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若tan∠C=$\frac{3}{5}$，OD=1，求線段AC的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件“∠CAD=∠CDA”、對頂角∠BDO=∠CDA可以推知∠BDO=∠CAD；然后根據(jù)等腰三角形OAB的兩個(gè)底角相等、直角三角形的兩個(gè)銳角互余的性質(zhì)推知∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，即∠OAC=90°，可得AC是⊙O的切線；
（2）由tan∠C=$\frac{3}{5}$，可得$\frac{OA}{AC}$=$\frac{3}{5}$，則可設(shè)AC=5x，則AO=3x，由勾股定理，求得OC=$\sqrt{34}$x，繼而可表示出AC=CD=5x，可得OC=5x+1，即可得方程$\sqrt{34}$x=5x+1，繼而求得答案．

解答 （1）證明：∵∠CAD=∠CDA，∠BDO=∠CDA，
∴∠BDO=∠CAD，
又∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB，
∵OB⊥OC，
∴∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，
即∠OAC=90°，
∴AC是⊙O的切線；

（2）解：在Rt△OAC中，∠OAC=90°，
∵tan∠C=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{OA}{AC}$=$\frac{3}{5}$，
∴設(shè)OA=3x，則AC=5x，
由勾股定理得：OC=$\sqrt{34}$x，
∵AC=CD，
∴AC=CD=5x，
∵OD=1，
∴OC=5x+1，
∴5x+1=$\sqrt{34}$x，
解得：x=$\frac{5+\sqrt{34}}{9}$，
∴AC=5x=$\frac{25+5\sqrt{34}}{9}$．

點(diǎn)評 此題考查了切線的性質(zhì)與判定、勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．