Question

7．如圖，小明從P點出發(fā)，沿北偏東60°方向行駛到達A處，接著向正南方向行駛100（$\sqrt{3}$+1）米到達B處．在B處觀測到出發(fā)時所在的P處在北偏西45°方向上，P，A兩處相距多少米？

Answer 1

分析 作輔助線PC⊥AB交AB于點C，設BC長度為x，則AC=AB-BC=100（$\sqrt{3}$+1）-x，在△PBC根據(jù)∠B=45°，可得BC=PC=x，然后在△PAC中根據(jù)三角函數(shù)求出PA的長度．

解答 解：作輔助線PC⊥AB交AB于點C，
設BC長度為x，則AC=AB-BC=100（$\sqrt{3}$+1）-x，
在△PBC中，
∵∠B=45°，
∴BC=PC=x，
在△PAC中，
∵∠APC=90°-60°=30°，
∴tan30°=$\frac{AC}{PC}$=$\frac{100（\sqrt{3}+1）-x}{x}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
化簡得：300（$\sqrt{3}$+1）-3x=$\sqrt{3}$x，
解得：x=$\frac{200\sqrt{3}}{3}$，
∵cos30°=$\frac{PC}{PA}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴PA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$PC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×$\frac{200\sqrt{3}}{3}$=$\frac{400}{3}$．
答：P，A兩處相距$\frac{400}{3}$米．

點評 本題主要考查了方向角的含義和解直角三角形的應用，解答本題的關鍵在于讀懂題意，根據(jù)所給方向角做出合適的輔助線，構造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識來進行求解．