Question

如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，G，H分別是AF，CE的中點(diǎn)，連結(jié)EG，F(xiàn)H．
（1）四邊形EHFG是不是平行四邊形？如果是，請給出證明；如果不是，請說明理由；
（2）求四邊形EHFG的面積與平行四邊形ABCD的面積之比．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)

專題：計算題

分析：（1）四邊形EHFG為平行四邊形，理由為：由四邊形ABCD為平行四邊形得到DC與AB平行且相等，而E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，得到FC與AE平行且相等，即四邊形AECF為平行四邊形，可得出GF與HE平行，再由G、H分別為AF與CE中點(diǎn)，得到GF=HE，即可得到四邊形GEHF為平行四邊形；
（2）由E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，得到四邊形AECF的面積=三角形ADF面積+三角形EBC面積=

1

2

平行四邊形ABCD面積，作FJ垂直與CE，F(xiàn)J為四邊形EHFG及四邊形AECF的高，求出四邊形EHFG面積與四邊形AECF面積之比，即可確定出四邊形EHFG的面積與平行四邊形ABCD的面積之比．

解答：解：（1）四邊形EHFG為平行四邊形，理由為：
∵ABCD為平行四邊形，
∴DC∥AB，DC=AB，
∵E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，
∴DF=CF=

1

2

DC，AE=BE=

1

2

AB，
∴FC=AE，
∵FC∥AE，
∴四邊形AECF為平行四邊形，
∴AF∥EC，且AF=EC，
∵G、H分別為AF、CE的中點(diǎn)，
∴GF=EH，
則四邊形EHFG為平行四邊形；
（2）∵E、F為AB、CD的中點(diǎn)，
∴S_{四邊形AECF}=S_△ADF+S_△EBC（底乘高可算得），即S_{平行四邊形AECF}：S_{平行四邊形ABCD}=1：2，
過F做FJ⊥CE于J點(diǎn)，F(xiàn)J為四邊形EHFG及四邊形AECF的高，
又∵G、H為中點(diǎn)，
∴S_{四邊形EHFG}：S_{四邊形AECF}=1：2（FJ•EC=FJ•2•EH），則S_{四邊形EHFG}：S_{四邊形ABCD}=1：4．

點(diǎn)評：此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．