Question

9．如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，D是BC的中點，求∠DAB的余弦值．

Answer 1

分析 作DE⊥AB于E，在Rt△ADE中，先解Rt△DEB，得出BD=2DE=2k，由點D是BC的中點，得到BD=CD=2k，BC=2BD=4k．再解Rt△ABC，求出AC=BC•tanB═$\frac{4\sqrt{3}}{3}$k．在Rt△ABD中，利用勾股定理得出AD=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$k，AE=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$k然后在Rt△ADE中，利用余弦函數(shù)的定義即可求解．

解答 解：過D作DE⊥AB于E，
設(shè)DE=k．
在Rt△DEB中，∵∠DEB=90°，∠B=30°，
∴BD=2DE=2k，
∵點D是BC的中點，
∴BD=CD=2k，BC=2BD=4k．
在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠B=30°，
∴AC=BC•tanB=4k×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$k．
在Rt△ABD中，∵∠C=90°，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{4\sqrt{3}}{3}k）^{2}+（2k）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$k．
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{21}}{3}k）^{2}-{k}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$k
在Rt△ADE中，∵∠DEA=90°，
∴cos∠DAB=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{\frac{5\sqrt{3}}{3}k}{\frac{2\sqrt{21}}{3}k}$=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$．

點評 本題考查了解直角三角形，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，關(guān)鍵是正確作出輔助線進(jìn)行求解，難度適中．