Question

19．[發(fā)現(xiàn)]如圖∠ACB=∠ADB=90°，那么點(diǎn)D在經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓上（如圖①）

[思考]如圖②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（點(diǎn)C，D在AB的同側(cè)），那么點(diǎn)D還在經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的⊙O上嗎？
我們知道，如果點(diǎn)D不在經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓上，那么點(diǎn)D要么在⊙O外，要么在⊙O內(nèi)，以下該同學(xué)的想法說(shuō)明了點(diǎn)D不在⊙O外．請(qǐng)結(jié)合圖④證明點(diǎn)D也不在⊙O內(nèi)．
【證】
[結(jié)論]綜上可得結(jié)論，如果∠ACB=∠ADB=α（點(diǎn)C，D在AB的同側(cè)），那么點(diǎn)D在經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓上，即：A、B、C、D四點(diǎn)共圓．
[應(yīng)用]利用上述結(jié)論解決問(wèn)題：
如圖⑤，已知△ABC中，∠C=90°，將△ACB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度（α為銳角）得△ADE，連接BE、CD，延長(zhǎng)CD交BE于點(diǎn)F；
（1）用含α的代數(shù)式表示∠ACD的度數(shù)；
（2）求證：點(diǎn)B、C、A、F四點(diǎn)共圓；
（3）求證：點(diǎn)F為BE的中點(diǎn)．

Answer 1

分析 【思考】【證】如圖1，假設(shè)點(diǎn)D在⊙O內(nèi)，延長(zhǎng)AD交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，則∠AEB=∠ACB，根據(jù)外角的性質(zhì)得到∠ADB＞∠AEB，于是得到∠ADB＞∠ACB，于是得到結(jié)論；
【應(yīng)用】（1）由題意可知，AC=AD，∠CAD=α，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到∠ACD=90°-$\frac{1}{2}α$；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABE=90°-$\frac{1}{2}$α，同時(shí)代的∠ACD=∠ABE，即可得到結(jié)論；
（3）由B、C、A、F四點(diǎn)共圓，得到∠BFA+∠BCA=180°，推出AF⊥BE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 【思考】【證】如圖1，假設(shè)點(diǎn)D在⊙O內(nèi)，延長(zhǎng)AD交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，則∠AEB=∠ACB，
∵∠ADB是△BDE的外角，
∴∠ADB＞∠AEB，
∴∠ADB＞∠ACB，
因此，∠ADB＞∠ACB這與條件∠ACB=∠ADB矛盾，
∴點(diǎn)D也不在⊙O內(nèi)，
∴點(diǎn)D即不在⊙O內(nèi)，也不在⊙O外，點(diǎn)D在⊙O上；
【應(yīng)用】（1）由題意可知，AC=AD，∠CAD=α，
∴∠ACD=90°-$\frac{1}{2}α$；
（2）∵AB=AE，∠BAE=α，∴∠ABE=90°-$\frac{1}{2}$α，∴∠ACD=∠ABE，
∴B、C、A、F四點(diǎn)共圓；
（3）∵B、C、A、F四點(diǎn)共圓，
∴∠BFA+∠BCA=180°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠BFA=90°，
∴AF⊥BE，
∵AB=AE，
∴BF=EF，
即點(diǎn)F為BE的中點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、圓周角定理以及反證法的應(yīng)用，掌握反證法的一般步驟、同弧所對(duì)的圓周角相等是解題的關(guān)鍵．