Question

如圖1，已知正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E是AC上一點，連結EB，過點A作AM⊥BE，垂足為M，AM交BD于點F.

(1)求證：OE＝OF；

(2)如圖2，若點E在AC的延長線上，AM⊥BE于點M，交DB的延長線于點F，其它條件不變，則結論“OE＝OF”還成立嗎？如果成立，請給出

證明；如果不成立，請說明理由．

 

Answer 1

見解析

【解析】

(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形．

∴∠BOE＝∠AOF＝90°.OB＝OA，

又∵AM⊥BE，

∴∠MEA＋∠MAE＝90°＝∠AFO＋∠MAE

∴∠MEA＝∠AFO，

∴Rt△BOE≌ Rt△AOF

∴OE＝OF

(2)OE＝OF成立

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BOE＝∠AOF＝90°.OB＝OA.

又∵AM⊥BE，

∴∠F＋∠MBF＝90°＝∠E＋∠OBE

又∵∠MBF＝∠OBE

∴∠F＝∠E.

∴Rt△BOE≌Rt△AOF.

∴OE＝OF.