Question

8．如圖，BC=10，D是BC上一動點，以BD、CD為邊作正△ABD和正△EDC，AC與BE交于點O，連接OD，①BE=AC；②∠AOB=60°；③OD平分∠BOC；④OC=OD+OE；⑤AE最小值為5，上述結(jié)論中正確的個數(shù)有（　　）

• A． 5個
• B． 4個
• C． 3個
• D． 2個

Answer 1

分析 由等邊三角形的性質(zhì)得出BD=AD，CD=DE，∠BAD=∠ADB=∠CDE=60°，證出∠BDE=∠ADC，由SAS證明△BDE≌△ADC，得出BE=AC（①正確），∠DBE=∠DAC，∠BED=∠ACD，由三角形的外角性質(zhì)得出②正確；證明A、B、D、O四點共圓，由圓周角定理得出∠BOD=∠BAD=60°，得出∠COD=60°=∠BOD，③正確；在OC上截取OM=OE，連接EM，證明△OME是等邊三角形，得出EM=OE，∠OME=60°，由ASA證明△ODE≌△MCE，得出OD=MC，得出④正確；當正△ABD和正△EDC全等時，AE最小=$\frac{1}{2}$BC=5，⑤正確；即可得出結(jié)論．

解答 解∵△ABD和△EDC是等邊三角形，
∴BD=AD，CD=DE，∠BAD=∠ADB=∠CDE=60°，
∴∠BDE=∠ADC，
在△BDE和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=AD}&{\;}\\{∠BDE=∠ADC}&{\;}\\{DE=DC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△ADC（SAS），
∴BE=AC（①正確），∠DBE=∠DAC，∠BED=∠ACD，
∵∠DAC+∠DCA=∠ADB=60°，
∴∠AOB=∠DBE+∠DCA=60°②正確；
∴∠BOC=120°，
∵∠AOB=∠ADB=60°，
∴A、B、D、O四點共圓，
∴∠BOD=∠BAD=60°，
∴∠COD=60°=∠BOD，
∴OD平分∠BOC，
③正確；
在OC上截取OM=OE，連接EM，如圖所示
∵COD=∠BOD=60°，
∴∠DOE=120°，△OME是等邊三角形，
∴EM=OE，∠OME=60°，
∴∠CME=120°，
∵∠MCE+∠BC0=∠MCE+∠MEC=60°，
∴∠BCD=∠MEC，
∴∠BED=∠MEC，
在△ODE和△MCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DOE=∠CME}&{\;}\\{OE=ME}&{\;}\\{∠BED=∠MEC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ODE≌△MCE（ASA），
∴OD=MC，
∵OC=OM+MC，
∴OC=OD+OE；④正確；
當正△ABD和正△EDC全等時，AE最小=$\frac{1}{2}$BC=5，
∴⑤正確；
正確的個數(shù)有5個．
故選：A．

點評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、四點共圓、圓周角定理等知識；本題綜合性強，難度較大．