Question

如圖1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，CD=3，AD=4，tanB=2，過點(diǎn)C作CH⊥AB，垂足為H．點(diǎn)P為線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，直線PE∥AB，分別交BC、CH于點(diǎn)E、Q．以PE為斜邊向右作等腰Rt△PEF，直線EF交直線AB于點(diǎn)M，直線PF交直線AB于點(diǎn)N．設(shè)PD的長為x，MN的長為y．
（1）求PE的長（用x表示）；
（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍（圖2為備用圖）；
（3）當(dāng)點(diǎn)M在線段AH上時(shí)，求x的取值范圍（圖3為備用圖）．

Answer 1

解：（1）∵矩形ADCH，PE∥AB，
∴四邊形CDPQ為矩形，
∴PQ=CD=3，CQ=PD=x；
∵PE∥CD，∴∠CEP=∠B，∴tan∠CEP==2；
∴EQ=，∴PE=3+．

（2）當(dāng)點(diǎn)N在線段AH上時(shí)，過點(diǎn)F作FG⊥EP于G，GF的延長線交AB于點(diǎn)K；
∵等腰Rt△PEF，F(xiàn)G=EP=（3+）=+，
∴FK=AP-FG=（4-x）-（+）=-x；
∴y=2FK=5-x；
∵PD+FG≤AD，∴x+（3+）≤4，
∴0≤x≤2．
當(dāng)點(diǎn)N在矩形ADCH外部時(shí)，由題意得：
AH=3，AP=4-x，QK=QE=，∠HKM=∠HMK=45°；
∴KH=MH=4-x-=4-x；
同理：AP=AN=4-x，
∴y=AH-AN-HM=3-（4-x）-（4-x），即y=x-5；
∵PD≤4，∴2＜x≤4．

（3）如圖，當(dāng)M、A重合時(shí)，AH=HK=3，QE=QK=；
∴HK=AP-QK=（4-x）-x=4-x，
當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)H時(shí)，K與H重合，即0≤KH≤3；
∴0≤4-x≤3，解得：≤x≤；
即當(dāng)點(diǎn)M在線段AH上時(shí)，x的取值范圍是≤x≤．
分析：（1）已知了PD的長為x，即CQ=x，結(jié)合∠B的正切值即可求得EQ的長，進(jìn)而由PE=PQ+EQ求得PE表達(dá)式．
（2）此題分兩種情況討論：
①點(diǎn)N在矩形ADCH的內(nèi)部，可過F作AH、PQ的垂線，設(shè)垂足為K、G；易知△MNF是等腰直角三角形，欲求MN，只需求出FK即可，已知了PE的表達(dá)式，即可得到FG的表達(dá)式，而KG的長易知，即可得到KF的值，由此求得y、x的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)點(diǎn)N在矩形的外部時(shí)，那么△KMH、△ANP都是等腰直角三角形，欲求MN，需求出HM、AN，即KH、AP的長，AP的長易知，關(guān)鍵是KH的值；在等腰Rt△EQK中，QK=QE，即可得到KQ的長，而CQ=PD=x，由此可得KH的表達(dá)式，即可求出MN的長，從而求得y、x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）首先由M、A重合時(shí)求得求得KH的表達(dá)式，當(dāng)M從A移動(dòng)到H時(shí)，此時(shí)K也與H重合，由此可得KH的取值范圍，聯(lián)立KH的表達(dá)式即可得到x的取值范圍．
點(diǎn)評：此題主要考查了直角梯形、等腰直角三角形、矩形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)，在涉及動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)，一定要注意分類討論思想的運(yùn)用，以免漏解．