Question

如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左則，B點的坐標為(3，0)，與y軸交于C(0，―3)點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點。

⑴求這個二次函數(shù)的表達式；

⑵連結(jié)PO、PC，在同一平面內(nèi)把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由；

⑶當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大，并求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積．

 

Answer 1

【答案】

(1) ;(2) (3) P點的坐標為，四邊形ABPC的面積的最大值為.

【解析】

試題分析：（1）把B、C兩點的坐標代入二次函數(shù)y=x2+bx+c即可求出bc的值，故可得出二次函數(shù)的解析式；

（2）過點P作y軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點E，設(shè)P（x，x2-2x-3），易得，直線BC的解析式為y=x-3則Q點的坐標為（x，x-3），再根據(jù)S四邊形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ即可得出結(jié)論．

試題解析：⑴將B、C兩點坐標代入得

解得：. 所以二次函數(shù)的表示式為：

⑵存在點P，使四邊形POP′C為菱形，設(shè)P點坐標為，PP′交CO于E，

若四邊形POP′C是菱形，則有PC＝PO，連結(jié)PP′，則PE⊥OC于E，

∴OE＝EC＝，

∴

∴，

解得，（不合題意,舍去）

∴P點的坐標為

⑶過點P作y軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點F，設(shè)P，易得，直線BC的解析式為,則Q點的坐標為

當時，四邊形ABPC的面積最大

此時P點的坐標為，四邊形ABPC的面積的最大值為.

考點: 二次函數(shù)綜合題．