Question

17．已知：二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，其中A點坐標為（-3，0），與y軸交于點C，點D（-2，-3）在拋物線上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對稱軸上有一動點P，求出PA+PD的最小值；
（3）若拋物線上有一動點P，使三角形ABP的面積為6，求P點坐標．

Answer 1

分析 （1）把A、D兩點坐標代入二次函數(shù)y=x²+bx+c，解方程組即可解決．
（2）利用軸對稱找到點P，用勾股定理即可解決．
（3）根據(jù)三角形面積公式，列出方程即可解決．

解答 解：（1）因為二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過A（-3，0），D（-2，-3），所以$\left\{\begin{array}{l}{9-3b+c=0}\\{4-2b+c=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
所以二次函數(shù)解析式為y=x²+2x-3．
（2）∵拋物線對稱軸x=-1，D（-2，-3），C（0，-3），
∴C、D關于x軸對稱，連接AC與對稱軸的交點就是點P，
此時PA+PD=PA+PC=AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
（3）設點P坐標（m，m²+2m-3），
令y=0，x²+2x-3=0，
x=-3或1，
∴點B坐標（1，0），
∴AB=4
∵S_△PAB=6，
∴$\frac{1}{2}$•4•|m²+2m-3|=6，
∴m²+2m-6=0，m²+2m=0，
∴m=0或-2或-1+$\sqrt{7}$或-1-$\sqrt{7}$．
∴點P坐標為（0，-3）或（-2，-3）或（-1+$\sqrt{7}$，3）或（-1-$\sqrt{7}$，3）．

點評 本題考查待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式、軸對稱-最短問題，解題關鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求拋物線解析式，學會利用對稱解決最短問題，用方程的思想去思考問題，屬于中考�？碱}型．