Question

如圖，⊙O的直徑CD垂直于弦AB，垂足為E，F(xiàn)為DC延長線上一點，且∠CBF=∠CDB．
（1）求證：FB為⊙O的切線；
（2）若AB=8，CE=2，求sin∠F．

Answer 1

考點：切線的判定,相似三角形的判定與性質

專題：幾何圖形問題

分析：（1）連接OB，根據(jù)圓周角定理證得∠CBD=90°，然后根據(jù)等邊對等角以及等量代換，證得∠OBF=90°即可證得；
（2）首先利用垂徑定理求得BE的長，然后根據(jù)△OBE∽△OBF，利用相似三角形的性質求得OF的長，則sin∠F即可求解．

解答：（1）證明：連接OB．
∵CD是直徑，
∴∠CBD=90°，
又∵OB=OD，
∴∠OBD=∠D，
又∠CBF=∠D，
∴∠CBF=∠OBD，
∴∠CBF+∠OBC=∠OBD+∠OBC，
∴∠OBF=∠CBD=90°，即OB⊥BF，
∴FB是圓的切線；
（2）解：∵CD是圓的直徑，CD⊥AB，
∴BE=

1

2

AB=4，
設圓的半徑是R，在直角△OEB中，根據(jù)勾股定理得：R²=（R-2）²+4²，
解得：R=5，
∵∠BOE=∠FOB，∠BEO=∠OBF，
∴△OBE∽△OBF，
∴OB²=OE•OF，
∴OF=

OB2

OE

=

25

3

，
則在直角△OBF中，sin∠F=

OB

OF

=

5

25 3

=

3

5

．

點評：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．