Question

（2013•百色）如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，直徑AB左側的半圓上有一點動點E（不與點A、B重合），連結EB、ED．
（1）如果∠CBD=∠E，求證：BC是⊙O的切線；
（2）當點E運動到什么位置時，△EDB≌△ABD，并給予證明；
（3）若tanE=

3

3

，BC=

4 3

3

，求陰影部分的面積．（計算結果精確到0.1）
（參考數(shù)值：π≈3.14，

2

≈1.41，

3

≈1.73）

Answer 1

分析：（1）欲證明BC是⊙O的切線，只需證得BC⊥AB；
（2）利用圓周角定理，全等三角形的判定定理AAS證得當點E運動到DE經過點O位置時，△EDB≌△ABD；
（3）如圖，連接OD，過點O作OF⊥AD于點F．S_陰影=S_扇形OAD-S_△AOD．由圓周角定理和正切三角函數(shù)定義易求AB的長度、圓心角∠AOD=120°．所以根據(jù)扇形面積公式和三角形的面積公式進行計算即可．

解答：解：（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
即∠ABD+∠BAD=90°．
又∵∠CBD=∠E，∠BAD=∠E，
∴∠ABD+∠CBD=90°，即∠ABC=90°．
∴BC⊥AB．
∴BC是⊙O的切線．

（2）當點E運動到DE經過點O位置時，△EDB≌△ABD．證明如下：
當點E運動到DE經過點O位置時，∠EBD=∠ADB=90°，
在△EDB與△ABD中，

∠EBD=∠ADB ∠ABD=∠E BD=DB

，
∴△EDB≌△ABD（AAS）．

（3）如圖，連接OD，過點O作OF⊥AD于點F，
∵∠BAD=∠E，tanE=

3

3

，
∴tan∠BAD=

3

3

．
又∵∠ADB=90°，
∴∠BAD=30°．
∵∠ABC=90°，BC=

4 3

3

，
∴AB=

BC

tan∠DAB

=4．
∴AO=2，OF=1，AF=AOcos∠BAD=

3

．
∴AD=2

3

．
∵AO=DO，
∴∠AOD=120°．
∴S_陰影=S_扇形OAD-S_△AOD=

120π×22

360

-

1

2

×3=2

3

×1=

4

3

π-

3

≈2.5．

點評：本題考查了切線的判定、全等三角形的判定以及扇形面積的計算．求（3）題中陰影部分的面積時，采用了“分割法”．