Question

11．關于x的一元二次方程（m+1）x²+2（m+1）x+2=0有兩個相等的實數(shù)根，拋物線y=-x²+（m+1）x+3與x軸交于A、B兩點（A在B左側(cè)），與y軸相交于點C，拋物線的頂點為D．
（1）求拋物線的解析式．
（2）如圖1，設拋物線的對軸交x軸于點E，在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使P點到x軸的距離等于P點到直線BD的距離？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．
（3）如圖2，作CF⊥DE于F，M為射線EA上一動點．如果在線段EF上恰好存在兩個點N滿足△CFN與△NEM相似，求M點的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可得△=0且m+1≠0，解方程即可解決問題．
（2）存在．如圖1中，①當P在x軸上方時，作PM⊥BD，設PM=PE=m，②當P′在x軸下方時，作P′N⊥BD于N．設P′N=P′E=m，分別構(gòu)建方程即可解決問題．
（3）如圖2中，當以CM為直徑的⊙K與EF相切時，恰好存在兩個點N，使得△MNE和△CFN相似，首先證明這個結(jié)論．設EM=a，連接KN，則KN是梯形CFEM的中位線，
可得KN=$\frac{1+a}{2}$，CM=1+a，在Rt△CMO中，根據(jù)CM²=CO²+OM²，列出方程求出a，即可解決問題．

解答 解：（1）∵一元二次方程（m+1）x²+2（m+1）x+2=0有兩個相等的實數(shù)根，
∴△=0且m+1≠0，
∴4（m+1）²-4（m+1）×2=0，
解得m=±1，
∵m≠-1，
∴m=1，
∴拋物線解析式為y=-x²+2x+3．

（2）存在．如圖1中，

①當P在x軸上方時，作PM⊥BD，設PM=PE=m，
由題意可知A（-1，0），B（3，0），D（1，4），
，∴DE=4，BE=2，BD=$\sqrt{D{E}^{2}+E{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
在Rt△PDM中，∵PD²=DM²=PM²，
∴（4-m）²=（2$\sqrt{5}$-2）²+m²，
解得m=$\sqrt{5}$-1，
∴此時點P坐標（2，$\sqrt{5}$-1）．

②當P′在x軸下方時，作P′N⊥BD于N．設P′N=P′E=m，
在Rt△DP′N中，∵P′D²=DN²+P′N²，
∴（4+m）²=（2$\sqrt{5}$+2）²+m²，
解得m=$\sqrt{5}$+1，
∴此時點P′坐標（2，-$\sqrt{5}$-1）．
綜上所述，當點P坐標為（2，$\sqrt{5}$-1）或（2，-$\sqrt{5}$-1）時，P點到x軸的距離等于P點到直線BD的距離．

（3）如圖2中，當以CM為直徑的⊙K與EF相切時，恰好存在兩個點N，使得△MNE和△CFN相似．

①設切點為N，則∠CNM=90°，
∵∠CFN=∠MEN=90°，
∴∠MNE+∠CNF=90°，∠CNF+∠NCF=90°，
∴∠MNE=∠NCF，
∴△MNE∽△NCF．
②作C關于直線DE的對稱點C′，連接MC′交DE于N′，
∵∠CN′F=∠C′N′F=∠MN′E，∠CFN′=∠MEN′=90°，
∴△N′ME∽△N′CF．
∴當以CM為直徑的⊙K與EF相切時，恰好存在兩個點N，使得△MNE和△CFN相似，
設EM=a，連接KN，則KN是梯形CFEM的中位線，
∴KN=$\frac{1+a}{2}$，CM=1+a，
在Rt△CMO中，∵CM²=CO²+OM²，
∴（1+a）²=（a-1）²=3²，
解得a=$\frac{9}{4}$，
∴OM=EM-OE=$\frac{9}{4}$-1=$\frac{5}{4}$，
∴點M坐標為（-$\frac{5}{4}$，0）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓的有關性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用這些知識解決問題，學會利用參數(shù)，根據(jù)勾股定理構(gòu)建方程，學會利用直徑所對的圓周角是直角、解決直角三角形相似問題，屬于中考壓軸題．