Question

如圖（1），直線y=-x+3分別與y軸、x軸交于A、C兩點，以O(shè)A、OC為邊作正方形OABC，E是邊OC上一點，將直線AE繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)45°與過E點垂直于AE的直線交于點D．
（1）求A、C兩點的坐標(biāo)；
（2）若直線AD的解析式為y=-

1

2

x+3，求直線DE的解析式；
（3）如圖（2），若∠OAE=30°，過點E作EF⊥AC于點H，交AD于點F，求

EF+FD

AH

的值．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)直線y=-x+3，令x=0，令y=0，分別求得x、y的值即可求得A、C的坐標(biāo)；
（2）過D點作DM⊥x軸于點M，先通過三角形全等求得EM=AO=3，DM=OE，設(shè)E（m，0），則OM=OE+EM=m+3，DM=OE=m，把D（m+3，m）代入直線AD的解析式，求得m的值，從而得出D、E的坐標(biāo)，最后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（3）根據(jù)解直角三角函數(shù)求得AE、AC、ED、HC的值，然后通過三角形相似求得EF、FD的值，根據(jù)AC、HC的值求得AH的值代入

EF+FD

AH

即可求得．

解答：解：（1）∵直線y=-x+3分別與y軸、x軸交于A、C兩點，
令y=0，則0=-x+3，解得x=3，
∴C（3，0），
令x=0，則y=3，
∴A（0，3）；

（2）如圖1，過D點作DM⊥x軸于點M，
∵∠EAD=45°，AE⊥ED，
∴AE=ED，∠AEO+∠DEM=90°，
∵∠OAE+∠AEO=90°，
∴∠OAE=∠DEM，
在△AOE與△EMD中

∠AOE=∠EMD=90° ∠OAE=∠DEM AE=ED

，
∴△AOE≌△EMD（AAS），
∴EM=AO=3，DM=OE，
設(shè)E（m，0），
∴OM=OE+EM=m+3，DM=OE=m，
∴D（m+3，m），
代入直線AD的解析式y(tǒng)=-

1

2

x+3，得m=-

1

2

（m+3）+3，
解得m=1，
∴D（4，1），E（1，0），
設(shè)直線DE的解析式為：y=kx+b，
則

4k+b=1 k+b=0

，解得

k= 1 3 b=- 1 3

，
∴直線DE的解析式為：y=

1

3

x-

1

3

；

（3）∵A（0，3），C（3，0），
∴OA=OC=3，
∴AC=3

2

，
∵∠OAE=30°，
∴OE=

3

，AE=2

3

，
∴EC=OC-OE=3-

3

，
∵∠EHC=90°，∠ACO=45°，
∴HC=

3 2 - 6

2

，
∴AH=AC-HC=

3 2 + 6

2

，
∵∠OAC=45°，∠OAE=30°，
∴∠EAC=15°，
∵∠EAD=45°，
∴∠CAD=30°，
∵∠AHF=90°，
∴∠AFH=60°，
∵∠AFH=∠D+∠DEF=60°，∠D=45°，
∴∠DEF=15°，
∴∠DEF=∠EAC，
∵∠ACO=∠D=45°，
∴△AEC∽△EFD，
∴

EF

AE

=

ED

AC

，
∵ED=AE=2

3

，
∴EF=

2 3

3 2

×2

3

=2

2

，
∴

DF

EC

=

ED

AC

，
∴DF=

2 3

3 2

×（3-

3

）=

6

-

2

，
∴

EF+FD

AH

=

2 2 - 2 + 6

3 2 + 6 2

=

2 2 +2 6

3 2 + 6

=

2 3

3

．

點評：本題考查了直線的交點坐標(biāo)，待定系數(shù)法求解析式，三角形全等的判定及性質(zhì)，三角形相似的判定及性質(zhì)，解直角三角形等；本題的難點是根據(jù)三角函數(shù)求得線段的長．