Question

把等邊△ABC沿直線l對折，使點B落在AC上得P處，AP﹕PC=1﹕2，則BE﹕BF等于

1. A.
   1：2
2. B.
   2：3
3. C.
   3：4
4. D.
   4：5

Answer 1

D
分析：設AP=a，BE=x，BF=y，則PC=2a，AC=3a，根據等邊三角形的性質得AB=BC=AC=3a，∠ABC=∠C=∠A=60°，則根據折疊的性質得PE=BE=x，PF=BF=y，∠EPF=60°，所以∠1+∠2=120°，根據三角形內角和定理有∠1+∠3=120°，代換后得∠2=∠3，根據相似三角形的判定得到△AEP∽△CPF，則==，即==，根據比例性質有3ay-xy=2ax，ay=3ax-xy，變形得到4ay=5ax，所以x：y=4：5．
解答：如圖，
設AP=a，BE=x，BF=y，則PC=2a，AC=3a，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC=AC=3a，∠ABC=∠C=∠A=60°，
∴AE=3a-x，CF=3a-y，
∵等邊△ABC沿直線l對折，使點B落在AC上得P處，
∴PE=BE=x，PF=BF=y，∠EPF=60°，
∴∠1+∠2=120°，
∵∠1+∠3=120°，
∴∠2=∠3，
∴△AEP∽△CPF，
∴==，即==，
∴3ay-xy=2ax①，ay=3ax-xy②，
①+②得4ay=5ax，
∴x：y=4：5，
即BE﹕BF=4：5．
故選D．
點評：本題考查了折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．也考查了等邊三角形性質和相似三角形的判定與性質．