Question

【題目】已知：△ABC是正三角形，P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，PA=3，PB=4，PC=5．求：∠APB的度數(shù)．

Answer 1

【答案】150°

【解析】

將△ABP旋轉(zhuǎn)60°得到△BCQ，連接PQ，意證△BCQ≌△BAP，由于∠PBQ=60°，BP=BQ，易知△BPQ是等邊三角形，從而有PQ=PB=4，而PC=5，CQ=3，由勾股定理逆定理可知△PQC是直角三角形，即∠PQC=90°，則可求出∠APB．

解：把△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BCQ，連接PQ.

由旋轉(zhuǎn)可知，△BCQ≌△BAP

∴CQ=PA=3，∠BQC=∠APB

∵∠PBQ=60°，BP=BQ，
∴△BPQ是等邊三角形，
∴PQ=PB=4，∠PQB=60°
∵PC=5

∴在△PQC中，，42+32=52

即PQ2+QC2=PC2，
∴△PQC是直角三角形

∴∠PQC=90°

∴∠BQC=∠PQB +∠PQC =60°+90°=150°，
∴∠APB=150°．