Question

已知，如圖. 在 Rt△ABC 中∠C = 90°. ∠BAC的角平分線 AD 交BC邊于D.    
(1)以AB邊上一點(diǎn)O為圓心，過A，D兩點(diǎn)作⊙O (不寫作法，保留作圖痕跡)，再判斷直線 BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)若(1)中的⊙O與AB 邊的另一個(gè)交點(diǎn)為E ,AB = 6 , BD = 2，求線段 BD、BE 與劣弧DE所圍成的圖形面積. (結(jié)果保留根號和π)

Answer 1

解：(1)如圖.作AD 的垂直平分線交AB于點(diǎn)O，O為圓心.OA為半徑作圓.
判斷結(jié)果：BC是⊙O的切線.
連接 OD.
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAB.    
∵OA= OD，
∴∠ODA=∠DAB，
∴∠DAC = ∠ODA，
∴ OD // AC，
∴∠ODB= ∠C,
∵∠C= 90°，
∴∠ODB= 90°，
即：OD⊥BC，
∵OD是O的半徑.
∴BC是⊙O的切線;

(2)如圖.連接 DE.     
設(shè)⊙O的半徑為 r. 則 OB=6-r，    
在Rt△ODB中，∠ODB= 90°，  
∴OB²=OD² +BD²，
即：(6-r)² = r²+(²    
∴r=2，
∴OB=4，
∴∠OBD=30°，∠DOB= 60°.
∵△ODB 的面積為扇形ODE的面積為
∴陰影部分的面積為