Question

閱讀材料：下圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點的坐標(biāo)分別為A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，AB中點P的坐標(biāo)為(x_p，y_p)．由x_p－x₁＝x₂－x_p，得，同理，所以AB的中點坐標(biāo)為．

由勾股定理得AB²＝|x₂－x₁|²＋|y₂－y₁|²，所以A、B兩點間的距離公式為．

注：上述公式對A、B在平面直角坐標(biāo)系中其它位置也成立．

解答下列問題：

下圖，直線l：y＝2x＋2與拋物線y＝2x²交于A、B兩點，P為AB的中點，過P作x軸的垂線交拋物線于點C．

(1)求A、B兩點的坐標(biāo)及C點的坐標(biāo)；

(2)連結(jié)AC、BC，求證△ABC為直角三角形；

(3)將直線l平移到C點時得到直線，求兩直線l與的距離．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由，解得，． 　　則A，B兩點的坐標(biāo)分別為：，，　2分 　　∵P是A，B的中點，由中點坐標(biāo)公式得P點坐標(biāo)為， 　　又PC⊥x軸交拋物線于C點，將代入y＝2x2中得， 　　∴C點坐標(biāo)為．　4分 　　(2)由兩點間距離公式得： 　　，， 　　∴PC＝PA＝PB，　6分 　　∴∠PAC＝∠PCA，∠PBC＝∠PCB， 　　∴∠PCA＋∠PCB＝90°，即∠ACB＝90° 　　∴△ABC為直角三角形．　8分 　　(3)過點C作CG⊥AB于G，過點A作AH⊥PC于H， 　　則H點的坐標(biāo)為，　9分 　　∴， 　　∴． 　　又直線l與之間的距離等于點C到l的距離CG， 　　∴直線l與之間的距離為．　12分