Question

如圖，正方形ABCD和正方形QMNP，M是正方形ABCD的對(duì)稱中心，MN交AB于F，QM交AD于E．

(1)猜想：ME與MF的數(shù)量關(guān)系

(2)如圖，若將原題中的“正方形”改為“菱形”，且∠M＝∠B，其它條件不變，探索線段ME與線段MF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

(3)如圖，若將原題中的“正方形”改為“矩形”，且AB∶BC＝1∶2，其它條件不變，探索線段ME與線段MF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

(4)如圖，若將原題中的“正方形”改為平行四邊形，且∠M＝∠B，AB∶BC＝m，其它條件不變，求出ME：MF的值．(直接寫出答案)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)ME＝MF　1分 　　(2)ME＝MF．　2分 　　證明：過點(diǎn)M作MH⊥AD于H，MG⊥AB于G，連結(jié)AM． 　　∵M是菱形ABCD的對(duì)稱中心，∴O是菱形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)， 　　∴AM平分∠BAD，∴MH＝MG 　　∵∠M＝∠B，∴∠M＋∠BAD＝180°，又∠MHA＝∠MGF＝90°， 　　∴∠HMG＋∠BAD＝180°．∴∠EMF＝∠HMG， 　　∴∠EMH＝∠FMG．∵∠MHE＝∠MGF， 　　∴△MHE≌△MGF，∴ME＝MF．　4分 　　(3)ME∶MF＝1∶2．　5分 　　證明：過點(diǎn)M作MH⊥AD于H，MG⊥AB于G， 　　∵∠M＝∠B，∴∠A＝∠EMF＝90°，又∵∠MHA＝∠MGA＝90°， 　　∴∠HMG＝90°．∴∠EMF＝∠HMG，∴∠EMH＝∠FMG． 　　∵∠MHE＝∠MGF，∴△MHE∽△MGF 　　∴．　6分 　　又∵M是矩形ABCD的對(duì)稱中心， 　　∴O是矩形ABCD對(duì)角線的中點(diǎn)， 　　又∵MG⊥AB，∴MG∥BC，∴ 　　同理可得，∴ME∶MF＝1∶2．　7分 　　(4)ME∶MF＝m　8分