Question

4．如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與BC交于點D，過點D作⊙O的切線，與AB的延長線交于點E，與AC交于點F．
（1）求證：EF⊥AC；
（2）若⊙O的半徑為3，CF=1，求cos∠CAB的值．

Answer 1

分析 （1）連接OD，如圖，利用等腰三角形的性質得∠C=∠ABC，∠ODB=∠ABC，則∠ODB=∠C，于是可判斷OD∥AC，再根據切線的性質得OD⊥EF，所以EF⊥AC；
（2）先得到AC=AB=6，則AF=5，再證明△EDO∽△EFA，利用相似比得到OE=$\frac{9}{2}$，則AE=$\frac{15}{2}$，然后在Rt△AFE中利用余弦的定義求解．

解答 （1）證明：連接OD，如圖，
∵AC=AB，
∴∠C=∠ABC，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠ABC，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵EF為切線，
∴OD⊥EF，
∴EF⊥AC；
（2）解：∵⊙O的半徑為3，
∴AC=AB=6，
∵CF=1，
∴AF=5，
∵OD∥AC，
∴△EDO∽△EFA，
∴$\frac{OD}{AF}$=$\frac{EO}{EA}$，即$\frac{3}{5}$=$\frac{OE}{OE+3}$，
∴OE=$\frac{9}{2}$，
∴AE=3+$\frac{9}{2}$=$\frac{15}{2}$，
在Rt△AFE中，cos∠A=$\frac{AF}{AE}$=$\frac{5}{\frac{15}{2}}$=$\frac{2}{3}$，
即cos∠CAB的值為$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．若出現圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系．也考查了等腰三角形的性質、相似三角形的判定與性質和銳角三角函數的定義．