Question

6．如圖，點P為∠MON的平分線上一點，以P為頂點的角的兩邊分別與射線OM、ON交于A、B兩點，如果∠APB繞點P旋轉(zhuǎn)時始終滿足OA•OB=OP²，且∠MON=60°．
（1）求∠APB的度數(shù)；
（2）若OP=4，連接AB并求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）由已知條件得到$\frac{OB}{OP}=\frac{OP}{OA}$，由于∠BOP=∠AOP，得到△PBO∽△AOP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠OBP=∠OPA，根據(jù)等量代換即可得到結(jié)論；
（2）如圖，連接AB，過點A作AH⊥OB，根據(jù)OA×OB=OP²=16，由于sin∠AOH=$\frac{AH}{OA}$，得到AH=OAsin∠AOH，等量代換即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵OA•OB=OP²，
∴$\frac{OB}{OP}=\frac{OP}{OA}$，
∵∠BOP=∠AOP，
∴△PBO∽△AOP，
∴∠OBP=∠OPA，
∵∠MON=60°，
∴∠BOP=30°，
∴∠OBP+∠BPO=180°-30°=150°
∴∠APB=∠BPO+∠APO=150°；

（2）如圖，連接AB，過點A作AH⊥OB，
∵OP=4，
∴OA×OB=OP²=16，
在Rt△AOH中，∠AHO=90°，
∴sin∠AOH=$\frac{AH}{OA}$，
∴AH=OAsin∠AOH，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OB×AH=$\frac{1}{2}$OB×OA×sin60°=$\frac{1}{2}$×OP²×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積的計算，三角函數(shù)的定義，得到S_△AOB=$\frac{1}{2}$OB×OA×sin60°是解題的關鍵．