Question

19．已知，如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB，D是AB的中點(diǎn)，DE⊥AB交AC于E，若∠BEC=∠C．
（1）若BE平分∠ABC，求∠A的度數(shù)；
（2）若△ABC的周長(zhǎng)為10，△BCE的周長(zhǎng)為6，求BC的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）設(shè)∠A的度數(shù)為x，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)用x表示出∠ABC和∠C，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列出算式求出x的值即可；
（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和三角形周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．

解答 解：（1）設(shè)∠A的度數(shù)為x，
∵D是AB的中點(diǎn)，DE⊥AB，
∴EA=EB，
∴∠ABE=∠A=x，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=x，
∵∠BEC=∠ABE+∠A=2x，
∴∠C=2x，
∴x+2x+2x=180°，
∴∠A=x=36°；
（2）∵△ABC的周長(zhǎng)為10，
∴AB+AC+BC=10，
∵△BCE的周長(zhǎng)為6，
∴BE+EC+BC=6，即AC+BC=6，
∴AB=4，
則BC=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．