Question

16．如圖，△ABC是等邊三角形，AB=2，D是邊BC的中點(diǎn)．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB-BD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA-AC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．
（1）求線段PB的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式）．
（2）當(dāng)△PQD是等邊三角形時(shí)，求出t的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)當(dāng)0≤t≤2和2≤t≤3時(shí)兩種情況進(jìn)行解答即可；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和AAS證明△BPD與△CDQ全等解答即可．

解答 解：（1）∵△ABC是等邊三角形，AB=2，
∴當(dāng)0≤t≤2時(shí)，BP=2-t；
當(dāng)2≤t≤3時(shí)，BP=t-2；
（2）∵△PQD是等邊三角形，∴∠PDQ=60°，
∴∠PDB+∠CDQ=120°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠PDB+∠BPD=120°，
∴∠BPD=∠CDQ，
∵BD=CD，
在△BPD與△CDQ中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BPD=∠CDQ}&{\;}\\{∠B=∠C}&{\;}\\{BD=DC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BPD≌△CDQ（AAS），
∴BP=CQ，
∴2-t=t，
∴t=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．