Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90゜，P為AC上一點(diǎn)，PQ⊥AB于Q，AM⊥AB交BP的延長線于M，MN⊥AC于N，AQ=MN．
（1）求證：AP=AM；
（2）求證：PC=AN．

Answer 1

分析：（1）要點(diǎn)是確定一對全等三角形△AQP≌△MNA，得到AP=AM；
（2）利用（1）中的全等三角形的性質(zhì)得到AN=PQ；然后推出BP為角平分線，利用角平分線的性質(zhì)得到PC=PQ；從而得到PC=AN．

解答：證明：（1）∵BA⊥AM，MN⊥AC，
∴∠BAM=∠ANM=90°，
∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°，
∴∠PAQ=∠AMN，
∵PQ⊥AB  MN⊥AC，
∴∠PQA=∠ANM=90°，
∴在△PQA與△ANM中，

∠PAQ=∠AMN AQ=MN ∠AQP=∠ANM

，
∴△PQA≌△ANM（ASA）
∴AP=AM；

（2）由（1）知，△PQA≌△ANM，
∴AN=PQ  AM=AP，
∴∠AMB=∠APM
∵∠APM=∠BPC，∠BPC+∠PBC=90°，∠AMB+∠ABM=90°
∴∠ABM=∠PBC
∵PQ⊥AB，PC⊥BC
∴PQ=PC（角平分線的性質(zhì)），
∴PC=AN．

點(diǎn)評：本題是幾何綜合題，全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線性質(zhì)等重要知識點(diǎn)．題干中給出的條件較多，圖形復(fù)雜，難度較大，對考生能力要求較高；解題時，需要認(rèn)真分析題意，以圖形的全等為主線尋找解題思路．解答中提供了多種解題方法，可以開拓思路，希望同學(xué)們認(rèn)真研究學(xué)習(xí)．