Question

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（0，8）、（6，0），以AC為直徑作⊙O，交坐標(biāo)軸于點(diǎn)B，點(diǎn)D是⊙O 上一點(diǎn)，且弧BD=弧AD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E．
（1）求證：CD平分∠ACE；
（2）判斷直線ED與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）求線段CE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)四邊形ABCD是⊙O內(nèi)接四邊形，可得∠DCE=∠BAD，根據(jù)弧BD=弧AD，可得∠BAD=∠ACD，等量代換得到∠DCE=∠ACD，從而求解；
（2）直線ED與⊙O相切．連接OD．根據(jù)圓的性質(zhì)和等邊對(duì)等角可得∠ODC=∠OCD，等量代換得到∠DCE=∠ODC，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)得到∠ODE=∠DEC，再根據(jù)垂直的定義和性質(zhì)可得OD⊥DE，根據(jù)切線的判定即可求解；                                        
（3）延長(zhǎng)DO交AB于點(diǎn)H．根據(jù)三角形中位線定理可得HO=$\frac{1}{2}$BC=3，根據(jù)勾股定理可得OD，得到HD，再根據(jù)矩形的判定和性質(zhì)得到BE=HD=8，從而得到CE的長(zhǎng)．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是⊙O內(nèi)接四邊形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
又∵∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠DCE=∠BAD，
∵弧BD=弧AD，
∴∠BAD=∠ACD，
∴∠DCE=∠ACD，
∴CD平分∠ACE．                             
（2）直線ED與⊙O相切．
連接OD．
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
又∵∠DCE=∠ACD，
∴∠DCE=∠ODC，
∵OD∥BE，
∴∠ODE=∠DEC，
又∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°，
∴∠ODE=90°
∴OD⊥DE，
∴ED與⊙O相切．                                         
（3）延長(zhǎng)DO交AB于點(diǎn)H．
∵OD∥BE，O是AC的中點(diǎn)，
∴H是AB的中點(diǎn)，
∴HO是△ABC的中位線，
∴HO=$\frac{1}{2}$BC=3，
又∵AC為直徑，
∴∠ADC=90°，
又∵O是AC的中點(diǎn)
∴OD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=5，
∴HD=3+5=8，
∵∠ABC=∠DEC=∠ODE=90°，
∴四邊形BEDH是矩形，
∴BE=HD=8，
∴CE=8-6=2．

點(diǎn)評(píng) 考查了圓的綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等弧對(duì)等角，圓的性質(zhì)和等邊對(duì)等角，平行線的判定和性質(zhì)，垂直的定義和性質(zhì)，切線的判定，三角形中位線定理，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．