Question

16．如圖，在△ABC中，AB=5，BC=3，CA=4，AD平分∠BAC，點(diǎn)M，N分別為AD，AC上的動點(diǎn)，則CM+MN的最小值是2.4．

Answer 1

分析 取點(diǎn)N關(guān)于AD的對稱點(diǎn)E，由軸對稱圖形的性質(zhì)可知MN=ME，從而得到CM+MN=CM+ME，當(dāng)點(diǎn)C、M、E在一條直線上且CE⊥AB時，CM+MN有最小值，然后證明△ABC為直角三角形，最后利用面積法求得CE的值即可．

解答 解：取點(diǎn)N關(guān)于AD的對稱點(diǎn)E．

∵AD平分∠BAC，
∴點(diǎn)E在AB上．
∵點(diǎn)N與點(diǎn)D關(guān)于AD對稱，
∴MN=ME．
∴CM+MN=CM+ME．
當(dāng)CE⊥AB時，CE有最小值，即CM+MN有最小值．
在△ABC中，AB=5，BC=3，CA=4，
∴△ABC為直角三角形．
∴AC•BC=AB•CE，即5CE=3×4，解得CE=2.4．
故答案為：2.4．

點(diǎn)評 本題主要考查的是軸對稱-路徑最短問題，解答本題主要應(yīng)用了軸對稱圖形的性質(zhì)、垂線段最短的性質(zhì)，將CM+MN轉(zhuǎn)化為CE的長是解題的關(guān)鍵．