Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，O是斜邊AB上一點．以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與BC交于點F，與AB交于點D，與AC相切于點為E，且AD：BD=1：2．
（1）求∠A的正切值．
（2）若BF=1，求

DF

的長．

Answer 1

分析：（1）如果連接OE，根據(jù)切線的性質(zhì)AE⊥OE，可通過AD，AB的比例關(guān)系得出OE=AD=OD，即可得出∠A的正弦值，進而可求出∠A的度數(shù)，也就知道了∠A的正切值．
（2）有了∠A的度數(shù)，就能求出∠B的度數(shù)，∠B的度數(shù)乘以2就是弧DF所對的圓心角的度數(shù)，有了圓心角的度數(shù)，有半徑的長（BF=OE=OB），可根據(jù)弧長的計算公式求出弧DF的長．

解答：解：（1）連接OE，
∵AC是⊙O的切線，
∴OE⊥AC，
∵AD：BD=1：2，且OE：BD=1：2，
∴OE=OD=AD，
∴OE：AO=1：2，
在Rt△AOE中，
∵sinA=

OE

AO

，OE：AO=1：2，
∴sinA=

1

2

，
∠A=30°，
∴tanA=

3

3

；

（2）連接OF，
∵∠B=90°-∠A=60°，OF=OB，
∴△OFB是等邊三角形，
∴OF=OB=1，∠DOF=120°，
∴弧DF的長=

120×π×1

180

=

2π

3

．

點評：本題主要考查了切線的性質(zhì)，弧長的計算公式以及圓周角定理等知識，根據(jù)線段的比例關(guān)系求出角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．