Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是等腰梯形，底邊AB在橫軸上且原點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，AB∥CD，∠DAB=60°，AB、BC（AB＞BC）是方程x²-11x+28=0的兩個(gè)根．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求線段AC的長；
（3）在x軸上是否存在一點(diǎn)P，在平面內(nèi)有一點(diǎn)Q，使以點(diǎn)A、點(diǎn)C、點(diǎn)P、點(diǎn)Q為頂?shù)乃倪呅螢榱庑�？若存在，�?qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)？若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）過C作CM⊥AB于M，求出方程的解，騎車AB、BC值，根據(jù)∠ABC=60°，求出CM、BM，即可求出答案；
（2）根據(jù)勾股定理求出AC即可；
（3）分為三種情況：①作AC得垂直平分線交直線CD于Q，此時(shí)Q符合，AQ=CQ，根據(jù)勾股定理求出CQ，即可得出答案；②以C為圓心，移AC為半徑交直線CD于Q₂、Q₃，此時(shí)符合，求出CQ₂=CQ₃，得出即可；③作C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)Q₄，此時(shí)Q₄符合題意．

解答：解：（1）
過C作CM⊥AB于M，
∵AB、BC（AB＞BC）是方程x²-11x+28=0的兩個(gè)根，
∴AB=7，BC=4，
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴∠DAB=∠B=60°，
∴BM=

1

2

BC=2，由勾股定理得：CM=2

3

，
∵O為AB中點(diǎn)，AB=7，
∴OA=OB=3.5，
∴OM=3.5-2=1.5，
即C的坐標(biāo)是（1.5，2

3

）；

（2）AM=OA+OM=3.5+1.5=5，CM=2

3

，
在Rt△AMC中，由勾股定理得：AC=

52+(2 3 )2

=

37

；

（3）在x軸上存在一點(diǎn)P，在平面內(nèi)有一點(diǎn)Q，使以點(diǎn)A、點(diǎn)C、點(diǎn)P、點(diǎn)Q為頂?shù)乃倪呅螢榱庑危?br />理由是：①過A作AN⊥CD于N，作AC的垂直平分線交直線CD于Q，交AB于P，此時(shí)Q符合題意，

則設(shè)AQ=CQ=x，DN=BM=2，CD=7-2-2=3，
所以CR=DR=1.5
在Rt△ANQ中，AN=CM=2

3

，ND=3+2-x=5-x，AQ=x，由勾股定理得：（2

3

）²+（5-x）²=x²，
解得：x=2.7，
則QR=2.7-1.5=1.2，
即Q的坐標(biāo)是（-1.2，2

3

）；
②
以AC為邊，如圖2，Q₂，Q₃符合，過Q₂作Q₂W⊥AB于W，過Q₃N⊥AB于N，
P₂Q₂=P₃Q₃=AC=

37

，Q₂W=Q₃N=2

3

，
由勾股定理得：P₂W=P₃N=

( 37 )2-(2 3 )2

=5，
則OW=OA+AP₂-P₂W=3.5+

37

-5=

37

-1.5，ON=AP₃+P₃N-AO=

37

+5-3.5=

37

+1.5，
即Q₂的 坐標(biāo)是（1.5-

37

，2

3

），Q₃的坐標(biāo)是（

37

+1.5，2

3

）；
③延長 CM到Q₄，使CM=MQ₄，此時(shí)Q₄符合題意，如圖3，

∵C（1.5，2

3

），
∴Q₄的坐標(biāo)是（1.5，-2

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，菱形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)的應(yīng)用，綜合性比較強(qiáng)，用了分類討論思想，難度偏大．