Question

【題目】已知拋物線頂點坐標(biāo)為，且與軸交于原點和點．對稱軸與軸交點為．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點在拋物線上，且橫坐標(biāo)為，在拋物線對稱軸上找一點，使得與的差最大，求此時點的坐標(biāo)；

（3）若點在拋物線的對稱軸上，且縱坐標(biāo)為．探究：在拋物線上是否存在點使得四點共圓？若存在求出點坐標(biāo)；若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）即；（2） ；（3）Q（5，5）或（）或（）．

【解析】

（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）2-4，解方程即可得到結(jié)論；
（2）由（1）知，拋物線的解析式為y=x2-4x，解方程得到C（4，0），求得A（-2，12），而拋物線的對稱軸為x=2，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理之兩邊之差小于第三邊，即可得到結(jié)論；
（3）由（2）知，拋物線的對稱軸為直線x=2，求得P（2，8），由點O、M、P、Q四點共圓，得到點Q是Rt△OMP外接圓上，設(shè)Q坐標(biāo)為（m，n），則m2-4m=n①，解方程即可得到結(jié)論．

解：（1）∵拋物線頂點坐標(biāo)為（2，-4），
∴設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）2-4，
∵拋物線過原點，
∴0=a（0-2）2-4，
∴a=1，
∴拋物線的解析式為y=（x-2）2-4=x2-4x；
（2）由（1）知，拋物線的解析式為y=x2-4x，
令y=0，則x2-4x=0，
∴x=0或x=4，
∴C（4，0），
∵A點的橫坐標(biāo)為-2，
∴y=4-4×（-2）=12，
∴A（-2，12），
而拋物線的對稱軸為x=2，
∴點C（4，0）關(guān)于拋物線的對稱軸x=2的對稱點為O（0，0），
則過點O，A的直線與拋物線的對稱軸的交點為點B，理由是三角形三邊關(guān)系定理之兩邊之差小于第三邊，
∵A（-2，12），
∴直線OA的解析式為y=-6x，
當(dāng)x=2時，y=-12，
∴點B（2，-12）；
（3）由（2）知，拋物線的對稱軸為直線x=2，
∴P（2，8），
∵拋物線的對稱軸與x軸交點為M，
∴M（2，0），
∴∠OMP=90°，
∵點O、M、P、Q四點共圓，則點Q是Rt△OMP外接圓上，
∴點Q到OP的中點的距離等于半徑OP=×，而OP的中點坐標(biāo)為（1，4），
由（1）知，拋物線的解析式為y=x2-4x，設(shè)Q坐標(biāo)為（m，n），則m2-4m=n①，
∴（m-1）2+（n-4）2=17②，∴m2-2m+n2-8n=0，
而m2-2m+（m2-4m）2-8（m2-4m）=m2-2m+m2（m-4）2-8m（m-4）
=m[m-2+m（m-4）2-8（m-4）]=m[（m-5）+（m-5）（m-4）2+5（m-4）2-8（m-5）+3-8]
=m{（m-5）+（m-5）（m-4）2+5[（m-5）2+2（m-5）+1]-8（m-5）-5}
=m[（m-5）+（m-5）（m-4）2+5（m-5）2+10（m-5）-8（m-5）]
=m（m-5）[1+（m-4）2+5（m-5）+2]
=m（m-5）（m2-3m-6）
∴m（m-5）（m2-3m-6）=0，
∴m=0（舍）或m=5或m2-3m-6=0，
∴m=5或m= ，
∴Q（5，5）或（）或（）．