Question

如圖，AB是⊙O的直徑，DF切⊙O于點D，BF⊥DF于F，過點A作AC∥BF交BD的延長線于點C．
（1）求證：∠ABC=∠C；
（2）設(shè)CA的延長線交⊙O于E，BF交⊙O于G，若

DG

的度數(shù)等于60°，試簡要說明點D和點E關(guān)于直線AB對稱的理由．

Answer 1

分析：（1）作輔助線，連接OD，由DF為⊙O的切線，可得OD⊥DF，又BF⊥DF，AC∥BF，所以O(shè)D∥AC，∠ODB=∠C，由OB=OD得∠ABD=∠ODB，從而可證∠ABC=∠C；
（2）連接OG，OD，AD，由BF∥OD，

GD

=60°，可求證

BG

=

GD

=

AD

=60°由平行線的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可求出∠OHD=90°，由垂徑定理便可得出結(jié)論．

解答：證明：（1）連接OD，
∵DF為⊙O的切線，
∴OD⊥DF．
∵BF⊥DF，AC∥BF，
∴OD∥AC∥BF．
∴∠ODB=∠C．
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB．
∴∠ABC=∠C．

（2）連接OG，OD，AD，
∵BF∥OD，
∴∠OBG=∠AOD，

GD

=

AD

．
∵

GD

=60°，
∴

BG

=

GD

=

AD

=60°．
∴OD∥BF∥AC．
∴∠ABC=∠C=∠E=30°，∠ODE=∠E=30°．
在△ODH中，∠ODE=30°，∠AOD=60°，
∴∠OHD=90°，
∴AB⊥DE．
∴點D和點E關(guān)于直線AB對稱．

點評：本題考查的是切線的性質(zhì)及圓周角定理，比較復(fù)雜，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，利用數(shù)形結(jié)合解答．