Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙O₁的直徑OA在x軸上，O₁A=2，直線(xiàn)OB交⊙O₁于點(diǎn)B，∠BOA=30°,P為經(jīng)過(guò)O、B、A三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)。

（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）求證：PB是⊙O₁的切線(xiàn)。

Answer 1

解：（1）如圖，連接O₁B，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥軸于點(diǎn)C

∴∠BOA=30°，半徑O₁A=2

∴∠BO_lC=60°，O₁C=1，BC=

∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，）

設(shè)過(guò)O（0，0）、A（4，0）兩點(diǎn)拋物線(xiàn)解析式為

∴點(diǎn)B（3，）在拋物線(xiàn)上

∵

∴

∴拋物線(xiàn)的解析式為

∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，）

（2）設(shè)過(guò)P（2，）、B（3，）兩點(diǎn)直線(xiàn)的解析式，

則，解得

∴直線(xiàn)PB的解析式為

令，則

∴直線(xiàn)PB與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為D（6，0）

∴OD=6，CD=3，O₁D=3+1=4

∵OB=

∴BD=

∴

∴

∴O₁B⊥BD

即PB是⊙O₁的切線(xiàn)。