Question

如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，∠DAB=90°，AC與BD交于點H，AE⊥BC于點E，AE交BD于點G，點F是BD的中點，連接EF，若HG=10，GB=6，tan∠ACB=1，則下列結(jié)論：①∠DAC=∠CBD；②DH+GB=HG；③4AH=5HC；④EC-EB=EF；其中正確結(jié)論是

1. A.
   只有①②
2. B.
   只有①③④
3. C.
   只有①④
4. D.
   只有②③④

Answer 1

B
分析：①以BD中點F為圓心，BD為直徑可以作出△ABC的外接圓，根據(jù)圓周角定理可得出結(jié)論；
②根據(jù)△ABF∽△GAF可得出AB²=BF•DG，由BD=AB，即16+DH=AB可求出DH的長，進而可得出DG+GB≠HG，進而可判斷②錯誤；
③△AHG∽△BHA，由相似三角形的性質(zhì)可得出AH的長，再根據(jù)相交弦定理可求出HC的長，進而可判斷出③正確；
④根據(jù)BD=BH+DH=16+8=24，△ABD為等腰直角三角形可求出AB的長，再根據(jù)△ABH∽△DCH及直角三角形的性質(zhì)即可CE-BE=EF，故④正確．
解答：解：①以BD中點F為圓心，BD為直徑可以作出△ABC的外接圓，
∵tan∠ACB=45°，
∴∠ACB=∠ADB=45°，∴A、B、C、D四點共圓，
∴∠DAC=∠CBD，故①正確；
②∵△ABH∽△AGD，
∴AB²=BH•DG，即AB²=16×（10+DH），
又∵BD=AB，即16+DH=AB，解得DH=8，
∵DH+GB=8+6=14≠10，
∴DG+GB≠HG，故②錯誤；
③∵△AHG∽△BHA，
∴AH²=BH×HG=16×10=160，
∴AH=4，
根據(jù)相交弦定理AH×HC=BH×DH，
∴HC=3.2，
∴4AH=5HC，故③正確；
④∵BD=BH+DH=16+8=24，△ABD為等腰直角三角形，
∴AB=12，
∵而AC=AH+HC=7.2且△AEC為等腰直角三角形，
∴AE=CE=7.2，
根據(jù)勾股定理得BE=2.4，
∴CE-BE=4.8，
由△ABH∽△DCH，得CD=AB×DH÷AH=4.8，而FN=0.5CD=2.4，BF=12，
根據(jù)勾股定理得BN=4.8根號5，BE=2.4，
∴EN=BN-BE=2.4，EF=2.4，
∴CE-BE=EF，即④正確，
綜上所述，①、③、④正確．
故選B．
點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外接圓及解直角三角形，根據(jù)題意作出三角形的外接圓是解答此題的關(guān)鍵．