Question

已知關于x的方程（m-2）x²+2x+1=0   ①
（1）若方程①有實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍？
（2）若A（1，0）、B（2，0），方程①所對應的函數(shù)y=（m-2）x²+2x+1的圖象與線段AB只有一個交點，求實數(shù)m的取值范圍？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)若方程為一元一次方程，求出m的值即可，再根據(jù)若方程為一元二次方程，利用根的判別式求出即可；
（2）分別從當m-2=0，以及當m-2≠0時分析，得出若方程有兩個不等的實根，以及若方程有兩個相等的實根，利用根的判別式以及方程的根得出答案．
解答：解：（1）若方程為一元一次方程，則m-2=0，即m=2，
若方程為一元二次方程，則m-2≠0，
∵關于x的方程（m-2）x²+2x+1=0有實數(shù)根，
又∵a=m-2，b=2，c=1，
∴b²-4ac=2²-4（m-2）≥0，
解得：m≤3，
∵m-2≠0，
∴m≠2，
∴m≤3且m≠2，
綜上所述，m≤3；

（2）設方程①所對應的函數(shù)記為y=f（x）=（m-2）x²+2x+1，
①當m-2=0，即m=2時，y=f（x）=（m-2）x²+2x+1，
即為y=2x+1，
y=0，x=-，即此時函數(shù)y=2x+1的圖象與線段AB沒有交點，
②當m-2≠0，即m≠2，函數(shù)為二次函數(shù)，依題意有，
a．若方程有兩個不等的實根，
此時二次函數(shù)與x軸兩個交點，根據(jù)函數(shù)y=（m-2）x²+2x+1的圖象與線段AB只有一個交點，
得出x=1和2時對應y的值異號，
則f（1）•f（2）＜0，
∴（m+1）（4m-3）＜0  即-1＜m＜，
當f（1）=0時，m=-1，
方程為3x²-2x-1=0，其根為x₁=1，x₂=-，
當f（2）=0時，m=，
方程為3x²-8x+4=0，其根為x₁=x₂=，
∴-1≤m＜，
b．若方程有兩個相等的實根，
則△=4-4（m-2）=0，m=3，方程為x²+2x+1=0，其根為 x₁=x₂=-1，
此時二次函數(shù)與線段AB無交點，
綜上所述，方程①所對應的函數(shù)的圖象與線段AB只有一個交點的實數(shù)m的取值范圍是：-1≤m＜．
點評：此題主要考查了根的判別式以及二次函數(shù)的綜合應用，根據(jù)已知進行分類討論，注意不要漏解是解決問題的關鍵．