Question

3．如圖，P為正方形ABCD的AD邊上一點，PE⊥AD交BD于點E點，將△PCD繞C點逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°到△FCB的位置，連接PF交BD于Q點．
①求證：BQ=EQ；
②探究線段PQ與線段CQ的關系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）先證明△PDE為等腰直角三角形，從而得到PD=PE，然后由PE=BF且PE∥BF，可得到四邊形BFEP為平行四邊形，最后依據(jù)平行四邊形對角線的性質(zhì)進行證明即可；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得到△PCF為等腰直角三角形，依據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可得到PQ與CQ的數(shù)量關系，依據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得到QC與PQ的位置關系．

解答 解：（1）∵ABCD為正方形，
∴∠PDE=45°．
∵PE⊥AD，
∴△PDE為等腰直角三角形．
∴PD=PE．
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知PD=BF．
∴PE=BF．
∵BF⊥AD，PE⊥AD，
∴BF∥PE．
∴四邊形BFPE為平行四邊形．
∴BQ=EQ．
（2）QC⊥PQ且QC=PQ．
理由：∵四邊形BFPE為平行四邊形．
∴QF=QP．
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知PC=CF，∠DCP=∠BCF．
∴∠DCB=∠PCF=90°．
∴△PCF為等腰直角三角形．
又∵PQ=FQ，
∴QC⊥PQ且QC=PQ．

點評 本題主要考查的是正方形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)和判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．