Question

3．如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，BE與CD相交于點(diǎn)F，BF=2CE，H是BC邊的中點(diǎn)，連接DH與BE相交于點(diǎn)G．下列結(jié)論中：①∠A=67.5°；②DF=AD；③BE=2BG；④DH⊥BC，正確的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件得到△BCD是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)得到BD=CD，由BE平分∠ABC，得到∠ABE=22.5°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠A=67.5°；故①正確；根據(jù)余角得到性質(zhì)得到∠DBF=∠ACD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD=DF，故②正確；根據(jù)BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，得到∠ABE=∠CBE，∠AEB=∠CEB=90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=CE=$\frac{1}{2}$AC，求得BE⊥AC，由于△BCD是等腰直角三角形，H是BC邊的中點(diǎn)，得到DH⊥BC，故④正確；推出DH不平行于AC，于是得到BE≠2BG，故③錯(cuò)誤．

解答 解：∵∠ABC=45°，CD⊥AB于D，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=CD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=22.5°，
∴∠A=67.5°；故①正確；
∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，
∴∠DBF+∠A=90°，∠ACD+∠A=90°，
∴∠DBF=∠ACD，
在△BDF與△CDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBF=∠ACD}\\{BD=CD}\\{∠BDF=∠CDA=90°}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△CDA（ASA），
∴AD=DF，故②正確；
∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，
∴∠ABE=∠CBE，∠AEB=∠CEB=90°，
∴在△ABE與△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CBE}\\{BE=BE}\\{∠AEB=CEB=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴AE=CE=$\frac{1}{2}$AC，
∴BE⊥AC，
∵△BCD是等腰直角三角形，H是BC邊的中點(diǎn)，
∴DH⊥BC，故④正確；
∴DH不平行于AC，
∵BH=CH，∴BG≠EG；
∴BE≠2BG，故③錯(cuò)誤．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，仔細(xì)分析圖形并熟練掌握各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．